Theorem mulmarep1gsum2 22469

Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
mulmarep1gsum2.x	⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1gsum2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙   𝐾,𝑙   𝑁,𝑙   𝑅,𝑙   𝑉,𝑙   𝑋,𝑙   0 ,𝑙   𝐴,𝑙   𝑍,𝑙   × ,𝑙

Allowed substitution hints:   1 (𝑙)   𝐸(𝑙)

Proof of Theorem mulmarep1gsum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simpl2 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
4		simp1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → 𝐼 ∈ 𝑁)
5	4	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simpl32 1253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
9	6, 7, 8	3jca 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁))
10	2, 3, 9	3jca 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
11	10	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
12		marepvcl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marepvcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marepvcl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
15		ma1repvcl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		mulmarep1el.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		mulmarep1el.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1el 22467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
20		iftrue 4530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
23	19, 22	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
24	23	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽))) = (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙))))
25	24	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
26		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑍‘𝐼))
27	26	eqcomd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
28	27	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
29	28	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
31		mulmarep1gsum2.x	. . . . . 6 ⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑅 ∈ Ring)
35	12, 13	matrcl 22305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
36	35	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
37	36	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
38	37	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑁 ∈ Fin)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑁 ∈ Fin)
40	13	eleq2i 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
41	40	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42	41	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43	42	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
44	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
45	14	eleq2i 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
46	45	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47	46	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
48	47	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
50	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51	12, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50	mavmulfv 22441	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
52	30, 51	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
53		iftrue 4530	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝑍‘𝐼))
54	53	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
56	25, 52, 55	3eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
57	56	ex 412	. 2 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
58	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
59		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
60	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐼 ∈ 𝑁)
61		simpl32 1253	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ≠ 𝐾)
63	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1gsum1 22468	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ≠ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
64	58, 59, 60, 61, 62, 63	syl113anc 1380	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
65		df-ne 2937	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐽 = 𝐾)
66		iffalse 4533	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝐼𝑋𝐽))
67	66	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
68	65, 67	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
70	64, 69	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
71	70	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
72	57, 71	pm2.61ine 3021	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  Vcvv 3470  ifcif 4524  ⟨cop 4630   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8838  Fincfn 8957  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17414   Σ_g cgsu 17415  1_rcur 20114  Ringcrg 20166   Mat cmat 22300   maVecMul cmvmul 22435   matRepV cmatrepV 22452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-mamu 22279  df-mat 22301  df-mvmul 22436  df-marepv 22454

This theorem is referenced by:  cramerimplem2  22579

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »