Theorem plendxnplusgndx 17352

Description: The slot for the "less than or equal to" ordering is not the slot for the group operation in an extensible structure. Formerly part of proof for oppgle 32759. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnplusgndx	⊢ (le‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Proof of Theorem plendxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12316	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt10 12845	. . 3 ⊢ 2 < ;10
3	1, 2	gtneii 11356	. 2 ⊢ ;10 ≠ 2
4		plendx 17347	. . 3 ⊢ (le‘ndx) = ;10
5		plusgndx 17259	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) = 2
6	4, 5	neeq12i 2997	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ ;10 ≠ 2)
7	3, 6	mpbir 230	1 ⊢ (le‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2930  ‘cfv 6547  0cc0 11138  1c1 11139  2c2 12297  ;cdc 12707  ndxcnx 17162  +_gcplusg 17233  lecple 17240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-dec 12708  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-plusg 17246  df-ple 17253

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21305  cnfldfunALTOLD  21318  znadd  21483  opsrplusg  22007  oppgle  32759

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »