Theorem prdsmgp 20105

Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
prdsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
prdsmgp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdsmgp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmgp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsmgp	⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Proof of Theorem prdsmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥))
2		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
3	1, 2	mgpbas 20094	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
4		prdsmgp.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		fvco2 7000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
6	4, 5	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)))
7	6	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑥)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥))
8	7	fveq2d 6906	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
9	3, 8	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
10	9	ixpeq2dva 8939	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
11		prdsmgp.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
12		prdsmgp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
13		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	12, 13	mgpbas 20094	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
15	14	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑌)
16		prdsmgp.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
17		prdsmgp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
18	11, 15, 16, 17, 4	prdsbas2 17460	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
19		prdsmgp.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
20		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21		fnmgp 20090	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
22		ssv 4006	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
24		fnco 6677	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
25	21, 4, 23, 24	mp3an2i 1462	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26	19, 20, 16, 17, 25	prdsbas2 17460	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑥)))
27	10, 18, 26	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘𝑍))
28		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
29	12, 28	mgpplusg 20092	. . 3 ⊢ (.r‘𝑌) = (+g‘𝑀)
30		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧))
31		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (.r‘(𝑅‘𝑧))
32	30, 31	mgpplusg 20092	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
33		fvco2 7000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
34	4, 33	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧) = (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)))
35	34	eqcomd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑅‘𝑧)) = ((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))
36	35	fveq2d 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (+g‘(mulGrp‘(𝑅‘𝑧))) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
37	32, 36	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (.r‘(𝑅‘𝑧)) = (+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧)))
38	37	oveqd 7443	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)) = ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))
39	38	mpteq2dva 5252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧))))
40	27, 27, 39	mpoeq123dv 7502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
41		fnex 7235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
42	4, 17, 41	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
43	4	fndmd 6664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
44	11, 16, 42, 15, 43, 28	prdsmulr 17450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑀), 𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(.r‘(𝑅‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
45		fnex 7235	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
46	25, 17, 45	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅) ∈ V)
47	25	fndmd 6664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (mulGrp ∘ 𝑅) = 𝐼)
48		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
49	19, 16, 46, 20, 47, 48	prdsplusg 17449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑍) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍), 𝑦 ∈ (Base‘𝑍) ↦ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧)(+g‘((mulGrp ∘ 𝑅)‘𝑧))(𝑦‘𝑧)))))
50	40, 44, 49	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (+g‘𝑍))
51	29, 50	eqtr3id 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
52	27, 51	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑀) = (Base‘𝑍) ∧ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  Xcixp 8924  Basecbs 17189  +_gcplusg 17242  ._rcmulr 17243  X_scprds 17436  mulGrpcmgp 20088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-prds 17438  df-mgp 20089

This theorem is referenced by:  prdsrngd  20130  prdsringd  20271  prdscrngd  20272  prds1  20273  pwsmgp  20277

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »