Theorem unitcl 20319

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20317	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20309	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  Basecbs 17185  1_rcur 20126  opp_rcoppr 20277  ∥_rcdsr 20298  Unitcui 20299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-ov 7427  df-dvdsr 20301  df-unit 20302

This theorem is referenced by:  unitss  20320  unitmulcl  20324  unitgrp  20327  ringinvcl  20336  unitnegcl  20341  ringunitnzdiv  20342  unitdvcl  20349  dvrid  20350  dvrcan1  20353  dvrcan3  20354  dvreq1  20355  irredrmul  20371  subrguss  20531  subrginv  20532  subrgunit  20534  isdrng2  20643  unitrrg  21245  gzrngunitlem  21370  gzrngunit  21371  zringunit  21397  matinv  22597  cramerimp  22606  unitnmn0  24603  nminvr  24604  nrginvrcnlem  24626  ig1peu  26127  dchrelbas3  27189  dchrmulcl  27200  isdrng4  32980  kerunit  33052  ply1unit  33265  m1pmeq  33266  fldhmf1  41565  invginvrid  47482  lincresunit3lem3  47593  lincresunit3lem1  47598

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »