Theorem m1pmeq 33250

Description: If two monic polynomials 𝐼 and 𝐽 differ by a unit factor 𝐾, then they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
m1pmeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
m1pmeq.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
m1pmeq.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
m1pmeq.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
m1pmeq.r	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
m1pmeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
m1pmeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
m1pmeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
m1pmeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
m1pmeq	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem m1pmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1pmeq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))
2		m1pmeq.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
3	2	flddrngd 20629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	3	drngringd 20625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		m1pmeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
6		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		m1pmeq.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
8	6, 7	unitcl 20307	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
10	5, 7	eleqtrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Unit‘𝑃))
11		m1pmeq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
12		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ ( deg1 ‘𝐹) = ( deg1 ‘𝐹)
16	11, 12, 13, 14, 2, 15, 9	ply1unit 33249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) = 0))
17	10, 16	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) = 0)
18		0le0 12337	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
19	17, 18	eqbrtrdi 5181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0)
20	15, 11, 6, 12	deg1le0 26040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → ((( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0 ↔ 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0))))
21	20	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0) → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
22	4, 9, 19, 21	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
23		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
24		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	17	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
26		0nn0 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	17, 26	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
28		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
29	28, 6, 11, 13	coe1fvalcl 22124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
30	9, 27, 29	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
31	25, 30	eqeltrrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ∈ (Base‘𝐹))
32	13, 23, 24, 4, 31	ringridmd 20202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
33	1	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐼) = (coe1‘(𝐾 · 𝐽)))
34	1	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝐹)‘𝐼) = (( deg1 ‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)))
35		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
36		m1pmeq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑃)
37		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
38		drngnzr 20637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NzRing)
40	11	ply1nz 26050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
42	7, 37, 41, 5	unitnz 32941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
43		fldidom 21251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ IDomn)
44	2, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ IDomn)
45	44	idomdomd 21248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
46	15, 11, 14, 6, 37, 4, 9, 19	deg1le0eq0 33247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) = (0g‘𝐹)))
47	46	necon3bid 2981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹)))
48	42, 47	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹))
49	25, 48	eqnetrd 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹))
50	13, 35, 14	domnrrg 21240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹)) → ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
51	45, 30, 49, 50	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
52		m1pmeq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
53		m1pmeq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
54	11, 6, 53	mon1pcl 26073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
56	11, 37, 53	mon1pn0 26075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
58	15, 11, 35, 6, 36, 37, 4, 9, 42, 51, 55, 57	deg1mul2 26043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)) = ((( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) + (( deg1 ‘𝐹)‘𝐽)))
59	34, 58	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘𝐹)‘𝐼) = ((( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) + (( deg1 ‘𝐹)‘𝐽)))
60	33, 59	fveq12d 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐼)) = ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘((( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) + (( deg1 ‘𝐹)‘𝐽))))
61		m1pmeq.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
62	15, 24, 53	mon1pldg 26078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐼)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
64	11, 36, 23, 6, 15, 37, 4, 9, 42, 55, 57	coe1mul4 26029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘((( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) + (( deg1 ‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐽))))
65	15, 24, 53	mon1pldg 26078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐽)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
66	52, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐽)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
67	25, 66	oveq12d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘(( deg1 ‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
68	64, 67	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘((( deg1 ‘𝐹)‘𝐾) + (( deg1 ‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
69	60, 63, 68	3eqtr3rd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
70	32, 69	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) = (1r‘𝐹))
71	70	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)))
72		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
73	11, 12, 24, 72, 4	ply1ascl1 33246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑃))
74	22, 71, 73	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (1r‘𝑃))
75	74	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐽) = ((1r‘𝑃) · 𝐽))
76	11	ply1ring 22159	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
77	4, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
78	6, 36, 72, 77, 55	ringlidmd 20201	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑃) · 𝐽) = 𝐽)
79	1, 75, 78	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132   + caddc 11135   ≤ cle 11273  ℕ₀cn0 12496  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17414  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  Unitcui 20287  NzRingcnzr 20444  DivRingcdr 20617  Fieldcfield 20618  RLRegcrlreg 21219  Domncdomn 21220  IDomncidom 21221  algSccascl 21779  Poly₁cpl1 22089  coe₁cco1 22090   deg₁ cdg1 25980  Monic_1pcmn1 26054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-rhm 20404  df-nzr 20445  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-field 20620  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-rlreg 21223  df-domn 21224  df-idom 21225  df-cnfld 21273  df-assa 21780  df-ascl 21782  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-mdeg 25981  df-deg1 25982  df-mon1 26059

This theorem is referenced by:  irredminply  33378

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »