Theorem ply1ascl1 33344

Description: The multiplicative identity scalar as a univariate polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl1.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ply1ascl1.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝑅)
ply1ascl1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
ply1ascl1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐼) = 1 )

Proof of Theorem ply1ascl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝑅)
2		ply1ascl1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1ascl1.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1sca 22181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐼) = ((algSc‘𝑊)‘(1r‘(Scalar‘𝑊))))
9		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	3	ply1lmod 22180	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	3	ply1ring 22176	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15	9, 10, 12, 14	ascl1 21823	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) = (1r‘𝑊))
16	8, 15	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐼) = (1r‘𝑊))
17		ply1ascl1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18	17	fveq1i 6895	. 2 ⊢ (𝐴‘𝐼) = ((algSc‘𝑊)‘𝐼)
19		ply1ascl1.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐼) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6547  Scalarcsca 17236  1_rcur 20126  Ringcrg 20178  LModclmod 20748  algSccascl 21791  Poly₁cpl1 22105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22108  df-ply1 22110

This theorem is referenced by:  m1pmeq  33348  ply1annnr  33461

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »