xralrple3 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem xralrple3 44750

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xralrple3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
xralrple3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)

**Assertion**
Ref	Expression
xralrple3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
3		xralrple3.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
5	4	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
6	3	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		xralrple3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		rpre 13008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 11268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
12	6, 11	readdcld 11267	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11288	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ^*)
14		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ 𝐵)
15	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		xralrple3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝐶)
19		rpge0 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑥)
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ 𝑥)
21	15, 16, 18, 20	mulge0d 11815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
22	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	15, 16	remulcld 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
24	22, 23	addge01d 11826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
25	21, 24	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
26	25	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
27	2, 5, 13, 14, 26	xrletrd 13167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
28	27	ralrimiva 3142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30		1rp 13004	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
31		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
32	31	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
33	32	breq2d 5154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
34	33	rspcva 3606	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
35	30, 34	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
36	35	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37		oveq1 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38		0cn 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
39	38	mulridi 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · 1) = 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
42	41	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
44	3	recnd 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	addridd 11438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
47	43, 46	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
48	47	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
49	36, 48	breqtrd 5168	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
50		neqne 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
51	50	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
52	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53		0red 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
54	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
56	53, 52, 54, 55	leneltd 11392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
57	52, 56	elrpd 13039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
58	51, 57	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
59	58	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
60		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
61		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
62	60, 61	rpdivcld 13059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ⁺)
63	62	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ⁺)
64		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
66	65	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
67	66	breq2d 5154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
68	67	rspcva 3606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
69	63, 64, 68	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
70	69	adantlll 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
71	60	rpcnd 13044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℂ)
72	61	rpcnd 13044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ∈ ℂ)
73	61	rpne0d 13047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ≠ 0)
74	71, 72, 73	divcan2d 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
75	74	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
76	75	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
77	70, 76	breqtrd 5168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
78	77	ralrimiva 3142	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79		xralrple 13210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
80	1, 3, 79	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
81	80	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
82	78, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	59, 82	syldan 590	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
84	49, 83	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
85	84	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
86	29, 85	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2936 ∀wral 3057 class class class wbr 5142 (class class class)co 7414 ℂcc 11130 ℝcr 11131 0cc0 11132 1c1 11133 + caddc 11135 · cmul 11137 ℝ^*cxr 11271 ≤ cle 11273 / cdiv 11895 ℝ⁺crp 13000

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-sup 9459 df-inf 9460 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-n0 12497 df-z 12583 df-uz 12847 df-q 12957 df-rp 13001

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