Theorem zlmsca 21455

Description: Scalar ring of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmsca	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Proof of Theorem zlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17296	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		vscandxnscandx 17305	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
3	2	necomi 2985	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17178	. 2 ⊢ (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
5		zringring 21380	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
6	1	setsid 17177	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
7	5, 6	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
8		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
9		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
10	8, 9	zlmval 21446	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
11	10	fveq2d 6898	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
12	4, 7, 11	3eqtr4a 2791	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4635  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417   sSet csts 17132  ndxcnx 17162  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237  ._gcmg 19028  Ringcrg 20178  ℤ_ringczring 21377  ℤModczlm 21431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zlm 21435

This theorem is referenced by:  zlmlmod  21457  zlmassa  21841  zlmclm  25070  nmmulg  33656  cnzh  33658  rezh  33659

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »