Theorem chsup0 31424

Description: The supremum of the empty set. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsup0	⊢ ( ∨ℋ ‘∅) = 0ℋ

Proof of Theorem chsup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4398	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {0ℋ}
2		0ss 4398	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ Cℋ
3		h0elch 31131	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
4		snssi 4813	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ ∈ Cℋ → {0ℋ} ⊆ Cℋ )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0ℋ} ⊆ Cℋ
6		chsupss 31218	. . . . 5 ⊢ ((∅ ⊆ Cℋ ∧ {0ℋ} ⊆ Cℋ ) → (∅ ⊆ {0ℋ} → ( ∨ℋ ‘∅) ⊆ ( ∨ℋ ‘{0ℋ})))
7	2, 5, 6	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (∅ ⊆ {0ℋ} → ( ∨ℋ ‘∅) ⊆ ( ∨ℋ ‘{0ℋ}))
8	1, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘∅) ⊆ ( ∨ℋ ‘{0ℋ})
9		chsupsn 31289	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{0ℋ}) = 0ℋ)
10	3, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{0ℋ}) = 0ℋ
11	8, 10	sseqtri 4013	. 2 ⊢ ( ∨ℋ ‘∅) ⊆ 0ℋ
12		chsupcl 31216	. . . 4 ⊢ (∅ ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘∅) ∈ Cℋ )
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘∅) ∈ Cℋ
14	13	chle0i 31328	. 2 ⊢ (( ∨ℋ ‘∅) ⊆ 0ℋ ↔ ( ∨ℋ ‘∅) = 0ℋ)
15	11, 14	mpbi 229	1 ⊢ ( ∨ℋ ‘∅) = 0ℋ

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  {csn 4630  ‘cfv 6548   C_ℋ cch 30805   ∨_ℋ chsup 30810  0_ℋc0h 30811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219  ax-hilex 30875  ax-hfvadd 30876  ax-hvcom 30877  ax-hvass 30878  ax-hv0cl 30879  ax-hvaddid 30880  ax-hfvmul 30881  ax-hvmulid 30882  ax-hvmulass 30883  ax-hvdistr1 30884  ax-hvdistr2 30885  ax-hvmul0 30886  ax-hfi 30955  ax-his1 30958  ax-his2 30959  ax-his3 30960  ax-his4 30961  ax-hcompl 31078

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6306  df-ord 6373  df-on 6374  df-lim 6375  df-suc 6376  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7374  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7684  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13791  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14324  df-cj 15080  df-re 15081  df-im 15082  df-sqrt 15216  df-abs 15217  df-clim 15466  df-rlim 15467  df-sum 15667  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17182  df-ress 17211  df-plusg 17247  df-mulr 17248  df-starv 17249  df-sca 17250  df-vsca 17251  df-ip 17252  df-tset 17253  df-ple 17254  df-ds 17256  df-unif 17257  df-hom 17258  df-cco 17259  df-rest 17405  df-topn 17406  df-0g 17424  df-gsum 17425  df-topgen 17426  df-pt 17427  df-prds 17430  df-xrs 17485  df-qtop 17490  df-imas 17491  df-xps 17493  df-mre 17567  df-mrc 17568  df-acs 17570  df-mgm 18601  df-sgrp 18680  df-mnd 18696  df-submnd 18742  df-mulg 19030  df-cntz 19277  df-cmn 19746  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22889  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-lm 23173  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-grpo 30369  df-gid 30370  df-ginv 30371  df-gdiv 30372  df-ablo 30421  df-vc 30435  df-nv 30468  df-va 30471  df-ba 30472  df-sm 30473  df-0v 30474  df-vs 30475  df-nmcv 30476  df-ims 30477  df-dip 30577  df-ssp 30598  df-ph 30689  df-cbn 30739  df-hnorm 30844  df-hba 30845  df-hvsub 30847  df-hlim 30848  df-hcau 30849  df-sh 31083  df-ch 31097  df-oc 31128  df-ch0 31129  df-chsup 31187

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »