MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cniccbdd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cniccbdd 25481
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11266 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ral0 4517 . . . 4 ∀𝑦 ∈ ∅ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0
3 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43rexrd 11314 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
65rexrd 11314 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 icc0 13426 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
84, 6, 7syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
98biimpar 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
109raleqdv 3315 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0))
112, 10mpbiri 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0)
12 brralrspcev 5213 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
131, 11, 12sylancr 585 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
143adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
155adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simpr 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
18 abscncf 24912 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
2017, 19cncfco 24918 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2120adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2214, 15, 16, 21evthicc 25479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2322simpld 493 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
24 cncff 24904 . . . . . . . 8 ((abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2520, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (abs ∘ 𝐹):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2625ffvelcdmda 7098 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
27 cncff 24904 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2928adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
30 fvco3 7001 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
3129, 30sylan 578 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
3231breq1d 5163 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)))
3332ralbidva 3166 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)))
3433biimpd 228 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)))
35 brralrspcev 5213 . . . . . 6 ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
3626, 34, 35syl6an 682 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
3736rexlimdva 3145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
3837imp 405 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
3923, 38syldan 589 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
4013, 39, 5, 3ltlecasei 11372 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∅c0 4325   class class class wbr 5153   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ℝcr 11157  0cc0 11158  ℝ*cxr 11297   < clt 11298   ≤ cle 11299  [,]cicc 13381  abscabs 15239  –cn→ccncf 24887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889
This theorem is referenced by:  cniccibl  25861  cnicciblnc  25863  c1liplem1  26020  itgsubstlem  26074  ftc2re  34444  3factsumint1  41720  cncfioobd  45518  fourierdlem39  45767
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »