Theorem fourierdlem28 45523

Description: Derivative of (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem28.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem28.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d	⊢ 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
fourierdlem28.df	⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem28	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem28

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11230	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		fourierdlem28.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		fourierdlem28.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8		fourierdlem28.3b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13		elioore 13386	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11294	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18	8	rexrd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 44880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 11403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
24	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		iooltub 44895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 11403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 44883	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29		1red 11245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
30		fourierdlem28.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
32		elioore 13386	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
34	31, 33	ffvelcdmd 7095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
36		fourierdlem28.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
37	36	ffvelcdmda 7094	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐷‘𝑦) ∈ ℝ)
38	12	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		0red 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40		iooretop 24681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
42	41	tgioo2 24718	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
43	40, 42	eleqtri 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
45	3	recnd 11272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
46	2, 44, 45	dvmptconst 45303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
47	14	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
48	2, 44	dvmptidg 45305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
49	2, 38, 39, 46, 47, 29, 48	dvmptadd 25891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)))
50		0p1e1 12364	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) = 1)
52	51	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
53	49, 52	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
54	30	feqmptd 6967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
55	54	reseq1d 5984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
56		ioossre 13417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
58	57	resmptd 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦)))
59	55, 58	eqtr2d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦)) = (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
60	59	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
61		fourierdlem28.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
62	61	eqcomi 2737	. . . . 5 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷)
64	36	feqmptd 6967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷‘𝑦)))
65	60, 63, 64	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷‘𝑦)))
66		fveq2 6897	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
67		fveq2 6897	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐷‘𝑦) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
68	2, 2, 28, 29, 35, 37, 53, 65, 66, 67	dvmptco 25903	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)))
69	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
70	69, 28	ffvelcdmd 7095	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
71	70	recnd 11272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
72	71	mulridd 11261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
73	72	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
74	68, 73	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  {cpr 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5679   ↾ cres 5680  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278  (,)cioo 13356   ↾_t crest 17401  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  ℂ_fldccnfld 21278   D cdv 25791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795

This theorem is referenced by:  fourierdlem57  45551  fourierdlem59  45553  fourierdlem68  45562

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »