Theorem hosubeq0i 31693

Description: If the difference between two operators is zero, they are equal. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hosd1.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
hosd1.3	⊢ 𝑈: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hosubeq0i	⊢ ((𝑇 −op 𝑈) = 0hop ↔ 𝑇 = 𝑈)

Proof of Theorem hosubeq0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosd1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2		hosd1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑈: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	honegsubi 31663	. . . . 5 ⊢ (𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑇 −op 𝑈)
4	3	eqeq1i 2730	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) = 0hop ↔ (𝑇 −op 𝑈) = 0hop )
5		oveq1 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) = 0hop → ((𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) +op 𝑈) = ( 0hop +op 𝑈))
6	4, 5	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((𝑇 −op 𝑈) = 0hop → ((𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) +op 𝑈) = ( 0hop +op 𝑈))
7		neg1cn 12356	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		homulcl 31626	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
9	7, 2, 8	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (-1 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ
10	1, 9, 2	hoadd32i 31645	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) +op 𝑈) = ((𝑇 +op 𝑈) +op (-1 ·op 𝑈))
11	1, 2, 9	hoaddassi 31643	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑇 +op (𝑈 +op (-1 ·op 𝑈)))
12	2, 2	honegsubi 31663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 +op (-1 ·op 𝑈)) = (𝑈 −op 𝑈)
13	2	hodidi 31654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 −op 𝑈) = 0hop
14	12, 13	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 +op (-1 ·op 𝑈)) = 0hop
15	14	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 +op (𝑈 +op (-1 ·op 𝑈))) = (𝑇 +op 0hop )
16	1	hoaddridi 31653	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 +op 0hop ) = 𝑇
17	15, 16	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑇 +op (𝑈 +op (-1 ·op 𝑈))) = 𝑇
18	11, 17	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((𝑇 +op 𝑈) +op (-1 ·op 𝑈)) = 𝑇
19	10, 18	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ((𝑇 +op (-1 ·op 𝑈)) +op 𝑈) = 𝑇
20		ho0f 31618	. . . . 5 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
21	20, 2	hoaddcomi 31639	. . . 4 ⊢ ( 0hop +op 𝑈) = (𝑈 +op 0hop )
22	2	hoaddridi 31653	. . . 4 ⊢ (𝑈 +op 0hop ) = 𝑈
23	21, 22	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ( 0hop +op 𝑈) = 𝑈
24	6, 19, 23	3eqtr3g 2788	. 2 ⊢ ((𝑇 −op 𝑈) = 0hop → 𝑇 = 𝑈)
25		oveq1 7424	. . 3 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 −op 𝑈) = (𝑈 −op 𝑈))
26	25, 13	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 −op 𝑈) = 0hop )
27	24, 26	impbii 208	1 ⊢ ((𝑇 −op 𝑈) = 0hop ↔ 𝑇 = 𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟶wf 6543  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  1c1 11139  -cneg 11475   ℋchba 30786   +_op chos 30805   ·_op chot 30806   −_op chod 30807   0_hop ch0o 30810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30866  ax-hfvadd 30867  ax-hvcom 30868  ax-hvass 30869  ax-hv0cl 30870  ax-hvaddid 30871  ax-hfvmul 30872  ax-hvmulid 30873  ax-hvmulass 30874  ax-hvdistr1 30875  ax-hvdistr2 30876  ax-hvmul0 30877  ax-hfi 30946  ax-his1 30949  ax-his2 30950  ax-his3 30951  ax-his4 30952  ax-hcompl 31069

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22827  df-topon 22844  df-topsp 22866  df-bases 22880  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-lm 23164  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cfil 25214  df-cau 25215  df-cmet 25216  df-grpo 30360  df-gid 30361  df-ginv 30362  df-gdiv 30363  df-ablo 30412  df-vc 30426  df-nv 30459  df-va 30462  df-ba 30463  df-sm 30464  df-0v 30465  df-vs 30466  df-nmcv 30467  df-ims 30468  df-dip 30568  df-ssp 30589  df-ph 30680  df-cbn 30730  df-hnorm 30835  df-hba 30836  df-hvsub 30838  df-hlim 30839  df-hcau 30840  df-sh 31074  df-ch 31088  df-oc 31119  df-ch0 31120  df-shs 31175  df-pjh 31262  df-hosum 31597  df-homul 31598  df-hodif 31599  df-h0op 31615

This theorem is referenced by:  lnopeqi  31875

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »