Theorem islinds5 33242

Description: A set is linearly independent if and only if it has no non-trivial representations of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
islinds5.r	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islinds5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islinds5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islinds5.y	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
islinds5	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑣   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎,𝑣   𝐹,𝑎   𝑣,𝐾   𝑂,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑊,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑎)   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem islinds5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	islinds 21807	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊)))
3	2	baibd 538	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊))
4		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
5	1	fvexi 6915	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
7		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
8	6, 7	ssexd 5329	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ V)
9		f1oi 6881	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
10		f1of 6843	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
12	11, 7	fssd 6745	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
13		islinds5.r	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		islinds5.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		islinds5.z	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
16		islinds5.y	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
17		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))
18	1, 13, 14, 15, 16, 17	islindf4 21836	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
19	4, 8, 12, 18	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝑉) LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
20	13	fvexi 6915	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
21		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑉) = (𝐹 freeLMod 𝑉)
22		islinds5.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
23	21, 22, 16, 17	frlmelbas 21754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
24	20, 8, 23	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
25	24	imbi1d 340	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
26		elmapfn 8894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
27	26	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑎 Fn 𝑉)
28	12	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝐵)
29	28	ffnd 6729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ( I ↾ 𝑉) Fn 𝑉)
30	8	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ V)
31		inidm 4220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
32		eqidd 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑎‘𝑣) = (𝑎‘𝑣))
33		fvresi 7187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
34	33	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑣) = 𝑣)
35	27, 29, 30, 30, 31, 32, 34	offval 7699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣)))
36	35	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))
37	36	eqeq1d 2728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 ↔ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂))
38	37	imbi1d 340	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
39	38	pm5.74da 802	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
40		impexp 449	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
41		impexp 449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
42	41	imbi2i 335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
43	40, 42	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
45	25, 39, 44	3bitrd 304	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })))))
46	45	ralbidv2 3164	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝑉))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · ( I ↾ 𝑉))) = 𝑂 → 𝑎 = (𝑉 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))
47	3, 19, 46	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))) = 𝑂) → 𝑎 = (𝑉 × { 0 }))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236   I cid 5579   × cxp 5680   ↾ cres 5684   Fn wfn 6549  ⟶wf 6550  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688   ↑_m cmap 8855   finSupp cfsupp 9405  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269   ·_𝑠 cvsca 17270  0_gc0g 17454   Σ_g cgsu 17455  LModclmod 20836   freeLMod cfrlm 21744   LIndF clindf 21802  LIndSclinds 21803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-nzr 20495  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lmhm 21000  df-lbs 21053  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-uvc 21781  df-lindf 21804  df-linds 21805

This theorem is referenced by:  linds2eq  33256  lbsdiflsp0  33521  fedgmullem1  33524  fedgmullem2  33525

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »