Theorem ply1scl0 22216

Description: The zero scalar is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1scl0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scl0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem ply1scl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		ply1scl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22178	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = (𝐴‘(0g‘(Scalar‘𝑃))))
7		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
9	2	ply1lmod 22177	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	2	ply1ring 22173	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
11	7, 8, 9, 10	ascl0 21819	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘(0g‘(Scalar‘𝑃))) = (0g‘𝑃))
12	6, 11	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
13		ply1scl0.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
14	12, 13	eqtr4di 2783	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6542  Scalarcsca 17233  0_gc0g 17418  Ringcrg 20175  algSccascl 21788  Poly₁cpl1 22102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-ascl 21791  df-psr 21844  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22105  df-ply1 22107

This theorem is referenced by:  ply1scln0  22218  ply1chr  22232  evl1gsumd  22283  pmat0opsc  22616  pmat1opsc  22617  pmat1ovscd  22618  mat2pmat1  22650  chpdmatlem2  22757  chp0mat  22764  facth1  26117  fta1g  26120  evl1at0  47570

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »