Theorem toponrestid 22822

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22817	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2737	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17401  TopOnctopon 22811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rest 17403  df-topon 22812

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24830  cncfmpt2f  24834  cdivcncf  24840  cnrehmeo  24877  cnrehmeoOLD  24878  mulcncf  25373  cnlimc  25816  dvidlem  25843  dvcnp2  25848  dvcnp2OLD  25849  dvcn  25850  dvnres  25860  dvaddbr  25867  dvmulbr  25868  dvmulbrOLD  25869  dvcobr  25876  dvcobrOLD  25877  dvcjbr  25880  dvrec  25886  dvexp3  25909  dveflem  25910  dvlipcn  25926  lhop1lem  25945  ftc1cn  25977  dvply1  26217  dvtaylp  26304  taylthlem2  26308  taylthlem2OLD  26309  psercn  26362  pserdvlem2  26364  pserdv  26365  abelth  26377  logcn  26580  dvloglem  26581  dvlog  26584  dvlog2  26586  efopnlem2  26590  logtayl  26593  cxpcn  26678  cxpcnOLD  26679  cxpcn2  26680  cxpcn3  26682  resqrtcn  26683  sqrtcn  26684  dvatan  26866  ftalem3  27006  cxpcncf1  34227  knoppcnlem10  35977  knoppcnlem11  35978  dvtan  37143  ftc1cnnc  37165  dvasin  37177  dvacos  37178  cxpcncf2  45287

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »