Theorem uvcresum 21720

Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcresum.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcresum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcresum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		uvcresum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasf 21687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
5	4	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	feqmptd 6961	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
7		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringmnd 20176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
13		simpl2 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	5	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15		uvcresum.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 3	uvcff 21718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
17	16	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
18	17	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
19		uvcresum.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
20		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	1, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20	frlmvscafval 21693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)))
22	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 2, 3	frlmbasf 21687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
24	13, 18, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26		fconstmpt 5734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
28	24	feqmptd 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
29	13, 22, 25, 27, 28	offval2 7699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
30	21, 29	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
31	1	frlmlmod 21676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32	31	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
34	1	frlmsca 21680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35	34	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
36	35	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
38	14, 37	eleqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
41	3, 39, 19, 40	lmodvscl 20754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 18, 41	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
43	30, 42	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
44	1, 2, 3	frlmbasf 21687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
45	13, 43, 44	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46	45	fvmptelcdm 7117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
47	46	an32s 651	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	fmpttd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
49	8	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
50	11	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝐼 ∈ 𝑊)
51		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐼)
52	12	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐼)
53		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ≠ 𝑎)
54	15, 49, 50, 51, 52, 53, 7	uvcvv0 21717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
55	54	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
56	14	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
57	56	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
58	2, 20, 7	ringrz 20223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	49, 57, 58	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
60	55, 59	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = (0g‘𝑅))
61	60, 11	suppsssn 8200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑎})
62	2, 7, 10, 11, 12, 48, 61	gsumpt 19910	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
63		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑋‘𝑏) = (𝑋‘𝑎))
64		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝑎))
65	64	fveq1d 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = ((𝑈‘𝑎)‘𝑎))
66	63, 65	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
67		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
68		ovex 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) ∈ V
69	66, 67, 68	fvmpt 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐼 → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
70	69	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
71		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
72	15, 8, 11, 12, 71	uvcvv1 21716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑎)‘𝑎) = (1r‘𝑅))
73	72	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
74	5	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
75	2, 20, 71	ringridm 20199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
76	8, 74, 75	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
77	73, 76	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = (𝑋‘𝑎))
78	70, 77	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
79	62, 78	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋‘𝑎))
80	79	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
81	6, 80	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
82		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
83		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
84		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
85		mptexg 7227	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
86	85	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
87		funmpt 6585	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
88	87	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
89		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑌) ∈ V)
90	1, 7, 3	frlmbasfsupp 21685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
91	90	3adant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
92	91	fsuppimpd 9387	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
93	35	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
94	93	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘𝑅))
95	94	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
96		ssid 4000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅))
97	95, 96	eqsstrdi 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
98		fvexd 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
99	5, 97, 83, 98	suppssr 8194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
100	99	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)))
101		eldifi 4122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐼)
102	101, 30	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
103	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
104	101, 18	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
105		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
106	3, 39, 19, 105, 82	lmod0vs 20771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
107	103, 104, 106	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
108	100, 102, 107	3eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (0g‘𝑌))
109	108, 83	suppss2 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
110		suppssfifsupp 9397	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g‘𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
111	86, 88, 89, 92, 109, 110	syl32anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
112	1, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111	frlmgsum 21699	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
113	81, 112	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
114	5	feqmptd 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
115	17	feqmptd 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑈‘𝑏)))
116	83, 14, 18, 114, 115	offval2 7699	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))))
117	30	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
118	116, 117	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
119	118	oveq2d 7430	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
120	113, 119	eqtr4d 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  Vcvv 3470   ∖ cdif 3942   ⊆ wss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   supp csupp 8159  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9379  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17414   Σ_g cgsu 17415  Mndcmnd 18687  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  LModclmod 20736   freeLMod cfrlm 21673   unitVec cuvc 21709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-uvc 21710

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21723

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »