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Theorem bposlem7 27216

Description: Lemma for bpos 27219. The function 𝐹 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
bposlem7.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
bposlem7.5	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
bposlem7.6	⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem7	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝐵,𝑛 𝑛,𝐺 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑛) 𝐺(𝑥)

**Proof of Theorem bposlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem7.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
3	2	rpsqrtcld 15384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ⁺)
4		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐵)))
5		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → 𝑥 = (√‘𝐵))
6	4, 5	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
7		bposlem7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
8		ovex 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) = ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)))
11		bposlem7.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nnrpd 13040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
13	12	rpsqrtcld 15384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ⁺)
14		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝐴)))
15		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → 𝑥 = (√‘𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
17		ovex 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)) ∈ V
18	16, 7, 17	fvmpt 6999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) = ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴)))
20	10, 19	breq12d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
21	13	rpred 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
22		bposlem7.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐴)
23	12	rprege0d 13049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		resqrtth 15228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
26	22, 25	breqtrrd 5170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2))
27	13	rpge0d 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐴))
28		ere 16059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
29		0re 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		epos 16177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < e
31	29, 28, 30	ltleii 11361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ e
32		le2sq 14124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴))) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
33	28, 31, 32	mpanl12 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
34	21, 27, 33	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐴) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐴)↑2)))
35	26, 34	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐴))
36	3	rpred 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
37		bposlem7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝐵)
38	2	rprege0d 13049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
39		resqrtth 15228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
41	37, 40	breqtrrd 5170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2))
42	3	rpge0d 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐵))
43		le2sq 14124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵))) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
44	28, 31, 43	mpanl12 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵)) → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
45	36, 42, 44	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e ≤ (√‘𝐵) ↔ (e↑2) ≤ ((√‘𝐵)↑2)))
46	41, 45	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝐵))
47		logdivlt 26548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐴)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ e ≤ (√‘𝐵))) → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
48	21, 35, 36, 46, 47	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((log‘(√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) < ((log‘(√‘𝐴)) / (√‘𝐴))))
49	21, 36, 27, 42	lt2sqd 14244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2)))
50	20, 48, 49	3bitr2rd 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ (𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴))))
51	25, 40	breq12d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ 𝐴 < 𝐵))
52		relogcl 26502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53		rerpdivcl 13030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
54	52, 53	mpancom 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
55	7, 54	fmpti 7116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺:ℝ⁺⟶ℝ
56	55	ffvelcdmi 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐵) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
57	3, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ)
58	55	ffvelcdmi 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
59	13, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
60		2rp 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
61		rpsqrtcl 15237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘2) ∈ ℝ⁺)
63	57, 59, 62	ltmul2d 13084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(√‘𝐵)) < (𝐺‘(√‘𝐴)) ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
64	50, 51, 63	3bitr3d 309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
65	64	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴)))))
66	11	nnred 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
67	1	nnred 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
68		2re 12310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
69		2pos 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
70	68, 69	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
72		ltdiv1 12102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
73	66, 67, 71, 72	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 2) < (𝐵 / 2)))
74	12	rphalfcld 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺)
75	74	rpred 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76	28, 68	remulcli 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ∈ ℝ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ∈ ℝ)
78	28	resqcli 14175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e↑2) ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
80		egt2lt3 16176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
81	80	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < e
82	68, 28, 81	ltleii 11361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ e
83	68, 28, 28	lemul2i 12161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < e → (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e)))
84	30, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≤ e ↔ (e · 2) ≤ (e · e))
85	82, 84	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e · 2) ≤ (e · e)
86	28	recni 11252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℂ
87	86	sqvali 14169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (e↑2) = (e · e)
88	85, 87	breqtrri 5169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (e · 2) ≤ (e↑2)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ (e↑2))
90	77, 79, 66, 89, 22	letrd 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐴)
91		lemuldiv 12118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
92	28, 70, 91	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
93	66, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐴 ↔ e ≤ (𝐴 / 2)))
94	90, 93	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐴 / 2))
95	2	rphalfcld 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺)
96	95	rpred 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℝ)
97	77, 79, 67, 89, 37	letrd 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (e · 2) ≤ 𝐵)
98		lemuldiv 12118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
99	28, 70, 98	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
100	67, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((e · 2) ≤ 𝐵 ↔ e ≤ (𝐵 / 2)))
101	97, 100	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝐵 / 2))
102		logdivlt 26548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐴 / 2)) ∧ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝐵 / 2))) → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
103	75, 94, 96, 101, 102	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) < (𝐵 / 2) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
104	73, 103	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
105		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐵 / 2)))
106		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → 𝑥 = (𝐵 / 2))
107	105, 106	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
108		ovex 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) ∈ V
109	107, 7, 108	fvmpt 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
110	95, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) = ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)))
111		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐴 / 2)))
112		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → 𝑥 = (𝐴 / 2))
113	111, 112	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
114		ovex 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)) ∈ V
115	113, 7, 114	fvmpt 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
116	74, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) = ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2)))
117	110, 116	breq12d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((log‘(𝐵 / 2)) / (𝐵 / 2)) < ((log‘(𝐴 / 2)) / (𝐴 / 2))))
118	55	ffvelcdmi 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
119	95, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ)
120	55	ffvelcdmi 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
121	74, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
122		9nn 12334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
123		4nn 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
124		nnrp 13011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ⁺)
125		nnrp 13011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ⁺)
126		rpdivcl 13025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℝ⁺ ∧ 4 ∈ ℝ⁺) → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
127	124, 125, 126	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
128	122, 123, 127	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ⁺
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℝ⁺)
130	119, 121, 129	ltmul2d 13084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘(𝐵 / 2)) < (𝐺‘(𝐴 / 2)) ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
131	104, 117, 130	3bitr2d 307	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
132	131	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
133	65, 132	jcad 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
134		sqrt2re 16220	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
135		remulcl 11217	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
136	134, 57, 135	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ)
137		9re 12335	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
138		4re 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
139		4ne0 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
140	137, 138, 139	redivcli 12005	. . . . . . 7 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ
141		remulcl 11217	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐵 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
142	140, 119, 141	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11217	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
144	134, 59, 143	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ)
145		remulcl 11217	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
146	140, 121, 145	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
147		lt2add 11723	. . . . . 6 ⊢ (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) ∈ ℝ) ∧ (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
148	136, 142, 144, 146, 147	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) < ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) ∧ ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))) < ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
149	133, 148	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))))
150		ltmul2 12089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
151	66, 67, 71, 150	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
152		rpmulcl 13023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ⁺)
153	60, 12, 152	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ⁺)
154	153	rpsqrtcld 15384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺)
155		rpmulcl 13023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
156	60, 2, 155	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
157	156	rpsqrtcld 15384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺)
158		rprege0 13015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺ → ((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))))
159		rprege0 13015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺ → ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵))))
160		lt2sq 14123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐴))) ∧ ((√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(2 · 𝐵)))) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
161	158, 159, 160	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺) → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
162	154, 157, 161	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2)))
163	153	rprege0d 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
164		resqrtth 15228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴))↑2) = (2 · 𝐴))
166	156	rprege0d 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)))
167		resqrtth 15228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐵)) → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐵))↑2) = (2 · 𝐵))
169	165, 168	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝐴))↑2) < ((√‘(2 · 𝐵))↑2) ↔ (2 · 𝐴) < (2 · 𝐵)))
170	162, 169	bitr2d 280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) < (2 · 𝐵) ↔ (√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵))))
171		1lt2 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
172		rplogcl 26531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
173	68, 171, 172	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ⁺
174	173	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ⁺)
175	154, 157, 174	ltdiv2d 13065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝐴)) < (√‘(2 · 𝐵)) ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
176	151, 170, 175	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
177	176	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
178	149, 177	jcad 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
179	136, 142	readdcld 11267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ)
180		rpre 13008	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
181	173, 180	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
182		rerpdivcl 13030	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐵)) ∈ ℝ⁺) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
183	181, 157, 182	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ)
184	144, 146	readdcld 11267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ)
185		rerpdivcl 13030	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝐴)) ∈ ℝ⁺) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
186	181, 154, 185	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)
187		lt2add 11723	. . . 4 ⊢ ((((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) ∈ ℝ) ∧ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))) ∈ ℝ)) → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
188	179, 183, 184, 186, 187	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) < (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) ∧ ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))) < ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
189	178, 188	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
190		2fveq3 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐵)))
191	190	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))))
192		fvoveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐵 / 2)))
193	192	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2))))
194	191, 193	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))))
195		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐵))
196	195	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐵)))
197	196	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵))))
198	194, 197	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
199		bposlem7.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
200		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) ∈ V
201	198, 199, 200	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
202	1, 201	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))))
203		2fveq3 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝐴)))
204	203	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))))
205		fvoveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝐴 / 2)))
206	205	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2))))
207	204, 206	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))))
208		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝐴))
209	208	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝐴)))
210	209	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))
211	207, 210	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
212		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))) ∈ V
213	211, 199, 212	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
214	11, 213	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴)))))
215	202, 214	breq12d 5155	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐵))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐵 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐵)))) < ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝐴))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝐴 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝐴))))))
216	189, 215	sylibrd 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐹‘𝐵) < (𝐹‘𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 class class class wbr 5142 ↦ cmpt 5225 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 ℝcr 11131 0cc0 11132 1c1 11133 + caddc 11135 · cmul 11137 < clt 11272 ≤ cle 11273 / cdiv 11895 ℕcn 12236 2c2 12291 3c3 12292 4c4 12293 9c9 12298 ℝ⁺crp 13000 ↑cexp 14052 √csqrt 15206 eceu 16032 logclog 26481

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9658 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 ax-pre-sup 11210 ax-addf 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8160 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-er 8718 df-map 8840 df-pm 8841 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fsupp 9380 df-fi 9428 df-sup 9459 df-inf 9460 df-oi 9527 df-card 9956 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-4 12301 df-5 12302 df-6 12303 df-7 12304 df-8 12305 df-9 12306 df-n0 12497 df-z 12583 df-dec 12702 df-uz 12847 df-q 12957 df-rp 13001 df-xneg 13118 df-xadd 13119 df-xmul 13120 df-ioo 13354 df-ioc 13355 df-ico 13356 df-icc 13357 df-fz 13511 df-fzo 13654 df-fl 13783 df-mod 13861 df-seq 13993 df-exp 14053 df-fac 14259 df-bc 14288 df-hash 14316 df-shft 15040 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-limsup 15441 df-clim 15458 df-rlim 15459 df-sum 15659 df-ef 16037 df-e 16038 df-sin 16039 df-cos 16040 df-pi 16042 df-struct 17109 df-sets 17126 df-slot 17144 df-ndx 17156 df-base 17174 df-ress 17203 df-plusg 17239 df-mulr 17240 df-starv 17241 df-sca 17242 df-vsca 17243 df-ip 17244 df-tset 17245 df-ple 17246 df-ds 17248 df-unif 17249 df-hom 17250 df-cco 17251 df-rest 17397 df-topn 17398 df-0g 17416 df-gsum 17417 df-topgen 17418 df-pt 17419 df-prds 17422 df-xrs 17477 df-qtop 17482 df-imas 17483 df-xps 17485 df-mre 17559 df-mrc 17560 df-acs 17562 df-mgm 18593 df-sgrp 18672 df-mnd 18688 df-submnd 18734 df-mulg 19017 df-cntz 19261 df-cmn 19730 df-psmet 21264 df-xmet 21265 df-met 21266 df-bl 21267 df-mopn 21268 df-fbas 21269 df-fg 21270 df-cnfld 21273 df-top 22789 df-topon 22806 df-topsp 22828 df-bases 22842 df-cld 22916 df-ntr 22917 df-cls 22918 df-nei 22995 df-lp 23033 df-perf 23034 df-cn 23124 df-cnp 23125 df-haus 23212 df-tx 23459 df-hmeo 23652 df-fil 23743 df-fm 23835 df-flim 23836 df-flf 23837 df-xms 24219 df-ms 24220 df-tms 24221 df-cncf 24791 df-limc 25788 df-dv 25789 df-log 26483

This theorem is referenced by: bposlem9 27218

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