imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 43070

Description: Example for imsqrtval 43068. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12512	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12716	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12508	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11191	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12333	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11245	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11244	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 43068	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12348	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11240	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12332	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11357	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12507	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15166	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5149	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4534	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15165	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12377	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15244	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7426	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12398	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2760	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ifcif 4524 class class class wbr 5142 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 ℂcc 11130 ℝcr 11131 0cc0 11132 1c1 11133 ici 11134 + caddc 11135 · cmul 11137 < clt 11272 ≤ cle 11273 − cmin 11468 -cneg 11469 / cdiv 11895 2c2 12291 4c4 12293 5c5 12294 6c6 12295 7c7 12296 8c8 12297 9c9 12298 cdc 12701 ↑cexp 14052 ℜcre 15070 ℑcim 15071 √csqrt 15206 abscabs 15207

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-sup 9459 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-4 12301 df-5 12302 df-6 12303 df-7 12304 df-8 12305 df-9 12306 df-n0 12497 df-z 12583 df-dec 12702 df-uz 12847 df-rp 13001 df-seq 13993 df-exp 14053 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209

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