Theorem omssubadd 33915

Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
omssubadd.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
omssubadd	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omssubadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnenom 13972	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 9019	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		domentr 9028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
5	1, 3, 4	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
6		brdomi 8973	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
9		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10		ctex 8978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
14		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
15	14	nfesum1 33654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)
16		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
17	15, 16	nfel 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ
18	13, 17	nfan 1895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
19		nfv 1910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑓:𝑋–1-1→ℕ
20	18, 19	nfan 1895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
21		nfv 1910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
22	20, 21	nfan 1895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
23	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
25	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26		oms.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
27		oms.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28		omsf 33911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29		oms.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
30	29	feq1i 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
31	28, 30	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
32	26, 27, 31	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34		omssubadd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
35	27	fdmd 6728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
36	35	unieqd 4917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
38	34, 37	sseqtrrd 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
39	26	uniexd 7742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ 𝑄 ∈ V)
41		ssexg 5318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
42	34, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
43		elpwg 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
45	38, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
46	33, 45	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
47	46	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
49	18, 25, 47, 48	esumcvgre 33705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
50	49	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
52		rpssre 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
53		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
54		2rp 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
56		df-f1 6548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun ◡𝑓))
57	56	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
59	58	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
61	55, 60	rpexpcld 14236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
62	61	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
63	53, 62	rpdivcld 13060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
64	52, 63	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
65	64	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
66		rexadd 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
67	51, 65, 66	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
68	9, 46	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
69		dfrp2 13400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
70		ioossicc 13437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
71	69, 70	eqsstri 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
72	71, 63	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
73	72	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
74	68, 73	xrge0addcld 32527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
75	67, 74	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
76	52, 53	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
77	76	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
78	52, 61	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
79	78	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
80	79	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
81		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
82	81	rpgt0d 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 𝑒)
83		2re 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
85	60	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
86	85	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
87		2pos 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 2)
89		expgt0 14087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
90	84, 86, 88, 89	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
91	77, 80, 82, 90	divgt0d 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
92	65, 51	ltaddposd 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
93	91, 92	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
94	29	fveq1i 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
95	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉)
96	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
97		omsfval 33909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
98	95, 96, 34, 97	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
99	94, 98	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
100	9, 99	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
101	100	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀‘𝐴))
102	101	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
103	93, 102	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
104	75, 103	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
105		iccssxr 13434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
106		xrltso 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ*
107		soss 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
108	105, 106, 107	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ < Or (0[,]+∞)
109		biid 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
110	108, 109	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ < Or (0[,]+∞)
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → < Or (0[,]+∞))
112		omscl 33910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
113	95, 96, 45, 112	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
114		xrge0infss 32525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
116	111, 115	infglb 9508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
117	116	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
118	23, 24, 104, 117	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
119		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
120		esumex 33643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∈ V
121	119, 120	elrnmpti 5957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
122	121	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
123		r19.41v 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
124	122, 123	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
125	124	exbii 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
126		df-rex 3067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
127		rexcom4 3281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
128	125, 126, 127	3bitr4i 303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
129		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
130		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
131	129, 130	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
132	131	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
133	132	exlimiv 1926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
134	133	reximi 3080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
135	128, 134	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
136	118, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
137		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
139	138	ss2rabi 4071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
140		rexss 4052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
142		unieq 4915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑥)
143	142	sseq2d 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
144		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
145	143, 144	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
146	145	elrab 3681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
147	146	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω))
148	147	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥)
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
150	149	anim1d 610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
151	150	reximdv 3166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
152	141, 151	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
153	136, 152	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
154	153	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
155	22, 154	ralrimi 3250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
156		unieq 4915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝑔‘𝑦))
157	156	sseq2d 4011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦)))
158		esumeq1 33648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
159	158	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
160	157, 159	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
161	160	ac6sg 10506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))))
162	161	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
163	12, 155, 162	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
164	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
165	38	ralrimiva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
166		iunss 5043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
167	165, 166	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
168	42	ralrimiva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
169		iunexg 7962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
170	11, 168, 169	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
171		elpwg 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
173	167, 172	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
174	32, 173	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
175	105, 174	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
176	164, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
178	25	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
179	177, 178	fexd 7234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
180		rnexg 7905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
181		uniexg 7740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ran 𝑔 ∈ V → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
182	179, 180, 181	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
183		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
184	27	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
185		frn 6724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
186		ssrab2 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
187	185, 186	sstrdi 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
188	187	unissd 4914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ ∪ 𝒫 dom 𝑅)
189		unipw 5447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∪ 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
190	188, 189	sseqtrdi 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
191	190	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
192	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
193	191, 192	sseqtrd 4019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ 𝑄)
194	193	sselda 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑐 ∈ 𝑄)
195	184, 194	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → (𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
196	195	ralrimiva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
197	183, 177, 196	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
198		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑐∪ ran 𝑔
199	198	esumcl 33644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
200	182, 197, 199	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201	105, 200	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*)
202		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
203	202	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
204		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
205	204	rpxrd 13044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
206	203, 205	xaddcld 13307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
207	185	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
208		sstr 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
209	186, 208	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
210		sspwuni 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
211	209, 210	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
212	207, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
213		ffn 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
214	213	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
215	164, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
216		fnct 10555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
217		rnct 10543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
218	216, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
219		dfss3 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
220	219	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
221		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
222	221	elrab 3681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ 𝑤 ≼ ω))
223	222	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
224	223	ralimi 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
225	220, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
226		unictb 10593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
227	218, 225, 226	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
228	214, 215, 207, 227	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
229		ctex 8978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ≼ ω → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
230		elpwg 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ V → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
231	228, 229, 230	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
232	212, 231	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
233		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
234	233	ralimi 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
235		fvssunirn 6925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ran 𝑔
236	235	unissi 4913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔
237		sstr 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
238	236, 237	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
239	238	ralimi 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
240		iunss 5043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
241	239, 240	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
242	234, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
243	242	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
244	232, 243, 228	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
245		unieq 4915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ∪ 𝑧 = ∪ ∪ ran 𝑔)
246	245	sseq2d 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔))
247		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ∪ ran 𝑔 ≼ ω))
248	246, 247	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ((∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
249	248	elrab 3681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
250	244, 249	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
251		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑅‘𝑐) = (𝑅‘𝑤))
252	251	cbvesumv 33657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)
253		esumeq1 33648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = ∪ ran 𝑔 → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
254	253	rspceeqv 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
255	250, 252, 254	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
256		esumex 33643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V
257		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
258	257	elrnmpt 5953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
259	256, 258	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
260	255, 259	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
261	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
262		omscl 33910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
263	26, 27, 173, 262	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
264		xrge0infss 32525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
265	263, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
266	261, 265	inflb 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
267	29	fveq1i 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)
268	167, 36	sseqtrd 4019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
269		omsfval 33909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
270	26, 27, 268, 269	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
271	267, 270	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
272	271	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
273	272	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
274	266, 273	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
275	164, 260, 274	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
276		biid 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
277	275, 276	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
278		xrlenlt 11304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
279	176, 201, 278	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
280	277, 279	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐))
281		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
282	22, 281	nfan 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
283		nfra1 3277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
284	282, 283	nfan 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
285		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
286		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
287		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
288	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
289		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
290		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
291	289, 290	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
292	186, 291	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
293	292	elpwid 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ dom 𝑅)
294	288, 293	fssdmd 6736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ 𝑄)
295		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦))
296	294, 295	sseldd 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝑄)
297	288, 296	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
298	297	ralrimiva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
299		fvex 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔‘𝑦) ∈ V
300		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑔‘𝑦)
301	300	esumcl 33644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑔‘𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
302	299, 301	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303	298, 302	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304	285, 286, 287, 303	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
305	304	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
306	284, 305	ralrimi 3250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
307	14	esumcl 33644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
308	178, 306, 307	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309	105, 308	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
310		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
311		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
312		fniunfv 7252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 Fn 𝑋 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
313	311, 213, 312	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
314	310, 313	esumeq1d 33649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
315	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
316	299	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑔‘𝑦) ∈ V)
317	315, 316, 297	esumiun 33708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
318	314, 317	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
319	9, 318	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
320	319	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
321	252, 320	eqbrtrid 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
322	285, 287, 46	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
323		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
324	323, 287, 73	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
325	322, 324	xrge0addcld 32527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
326	325	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
327	284, 326	ralrimi 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
328	14	esumcl 33644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
329	178, 327, 328	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
330	105, 329	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
331	215, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
332		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ))
333		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
334	332, 333, 49	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
335	334	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
336	65	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
337	336	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
338		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
339	338	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
340	66	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
341	340	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
342	335, 337, 339, 341	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
343	342	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
344	332	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
345		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
346	344, 345, 333, 303	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
347	105, 346	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
348	334	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
349	336	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
350	348, 349	xaddcld 13307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
351		xrltle 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
352	347, 350, 351	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
353	343, 352	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
354	353	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
355	354	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
356	282, 355	ralrimi 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
357		ralim 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
358	356, 357	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
359	358	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
360	359	r19.21bi 3244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
361	284, 14, 331, 304, 325, 360	esumlef 33676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
362	164, 46	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
363	284, 14, 331, 362, 324	esumaddf 33675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
364	324	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
365	284, 364	ralrimi 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
366	14	esumcl 33644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
367	178, 365, 366	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
368	105, 367	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
369		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
370		vex 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑓 ∈ V
371	370	rnex 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
372	371	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
373	58	frnd 6725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
374	373	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
375	374	sselda 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
376	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
377		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
378	377	nnzd 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
379	376, 378	rpexpcld 14236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
380	379	rpreccld 13053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
381	71, 380	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
382	381	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
383	375, 382	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384	383	ralrimiva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧ran 𝑓
386	385	esumcl 33644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
387	372, 384, 386	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388	105, 387	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
389		1xr 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ*
390	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
391	71	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
392	391	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
393		elxrge0 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
394	392, 393	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
395		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
396		nnex 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℕ ∈ V
397	396	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
398	395, 397, 381, 373	esummono 33668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
399		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
400	399	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
401		ioossico 13442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
402	69, 401	eqsstri 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
403	402, 380	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
404		eqidd 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
405		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
406	405	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
407	406	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
408		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
409		ovexd 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
410	404, 407, 408, 409	fvmptd 7007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
411	410	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
412		ax-1cn 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℂ
413		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
414	413	geo2lim 15848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
415	412, 414	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
416	415	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
417		1re 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
418	417	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
419	400, 403, 411, 416, 418	esumcvgsum 33702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
420		geoihalfsum 15855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
421	419, 420	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
422	398, 421	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
423	422	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
424		xlemul2a 13295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
425	388, 390, 394, 423, 424	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
426	13, 19	nfan 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
427	426, 21	nfan 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
428	76	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
429	78	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
430	429	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
431		2cn 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
432	431	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
433		2ne0 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ≠ 0
434	433	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ≠ 0)
435	432, 434, 60	expne0d 14143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
436	435	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
437	428, 430, 436	divrecd 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
438		1rp 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 1 ∈ ℝ+
439	438	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
440	439, 61	rpdivcld 13060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
441	52, 440	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
442	441	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
443		rexmul 13277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
444	76, 442, 443	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
445	437, 444	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
446	445	ralrimiva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
447	427, 446	esumeq2d 33651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
448	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
449	71, 440	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
450	449	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
451	402	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
452	451	sselda 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
453	448, 450, 452	esummulc2 33696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
454		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑦(1 / (2↑𝑧))
455		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓‘𝑦)))
456	455	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
457	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
458	56	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡𝑓)
459	57	feqmptd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
460	459	cnveqd 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → ◡𝑓 = ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
461	460	funeqd 6570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (Fun ◡𝑓 ↔ Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦))))
462	458, 461	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
463	462	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
464	454, 426, 14, 456, 457, 463, 449, 59	esumc 33665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
465		ffn 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
466		fnrnfv 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
467	58, 465, 466	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
468	395, 467	esumeq1d 33649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
469	464, 468	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
470	469	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
471	470	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
472	447, 453, 471	3eqtr2rd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
473	394	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
474		xmulrid 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
475	473, 474	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
476	425, 472, 475	3brtr3d 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
477	164, 369, 204, 476	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
478		xleadd2a 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
479	368, 205, 203, 477, 478	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
480	363, 479	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
481	309, 330, 206, 361, 480	xrletrd 13168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
482	201, 309, 206, 321, 481	xrletrd 13168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
483	176, 201, 206, 280, 482	xrletrd 13168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
484	204	rpred 13043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
485		rexadd 13238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
486	202, 484, 485	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
487	483, 486	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
488	487	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
489	488	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
490	489	exlimdv 1929	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
491	163, 490	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
492	491	ralrimiva 3142	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
493		xralrple 13211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
494	175, 493	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
495	494	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
496	492, 495	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
497	496	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
498	497	exlimdv 1929	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
499	8, 498	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
500	175	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
501		pnfge 13137	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
502	500, 501	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
503	46	ralrimiva 3142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
504	14	esumcl 33644	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
505	11, 503, 504	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
506		xrge0nre 13457	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
507	505, 506	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
508	502, 507	breqtrrd 5171	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
509	499, 508	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  {cab 2705   ≠ wne 2936  ∀wral 3057  ∃wrex 3066  {crab 3428  Vcvv 3470   ⊆ wss 3945  𝒫 cpw 4599  ∪ cuni 4904  ∪ ciun 4992   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Or wor 5584  ^◡ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ωcom 7865   ≈ cen 8955   ≼ cdom 8956  infcinf 9459  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138  +∞cpnf 11270  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273   ≤ cle 11274   / cdiv 11896  ℕcn 12237  2c2 12292  ℤcz 12583  ℝ⁺crp 13001   +_𝑒 cxad 13117   ·_e cxmu 13118  (,)cioo 13351  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  seqcseq 13993  ↑cexp 14053   ⇝ cli 15455  Σcsu 15659  Σ^*cesum 33641  toOMeascoms 33906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-reg 9610  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-r1 9782  df-rank 9783  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-ordt 17477  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-ps 18552  df-tsr 18553  df-plusf 18593  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-abv 20691  df-lmod 20739  df-scaf 20740  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-tmd 23970  df-tgp 23971  df-tsms 24025  df-trg 24058  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-nm 24485  df-ngp 24486  df-nrg 24488  df-nlm 24489  df-ii 24791  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26484  df-esum 33642  df-oms 33907

This theorem is referenced by:  omsmeas  33938

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